Originally published by Oxford in 1956. |

≈ : A Book of Curves. Dover, p. 83 & 148,1994. Originally published by Oxford in 1969. ⟨ y この記事はこんなことを書いてます 自然界は面白いことに、数学と密接な関係がある動物や植物がたくさ ... https://analytics-notty.tech/fibonacci-and-goldenratio-in-sunflower/, さて、フィボナッチ数列と黄金比を見ていきましょう。もう一度、フィボナッチ数列を書くと、, $$\frac{1}{1}, \quad \frac{2}{1}, \quad \frac{3}{2}, \quad \frac{5}{3}, \quad \frac{8}{5}, \quad \frac{13}{8}, \quad \frac{21}{13}, \quad \frac{34}{21}, \quad \cdots$$, $$1, \quad 2, \quad 1.5, \quad 1.66 \cdots, \quad 1.6, \quad 1.625, \quad 1.6153\cdots, \quad 1.6190\cdots, \cdots$$, これをもっと先まで続けていくと、どんどん黄金比である1.618に近づいていきます。, フィボナッチ数と数列の性質についてはこれくらいにして、フィボナッチ数から螺旋を作ってみましょう。, $$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89$$, 本当は、もっともっと永遠に続くフィボナッチ数列ですが、とりあえずここまでを考えます。, この数で長方形を作りましょう。それを下の図ように上で作った長方形の右側に配置します。, これを\((1, 1)\)の正方形まで続けていくと、下のような図形が出来上がります。, 四角形の中に書いている数字は、その正方形の一辺の長さです。フィボナッチ数列になっていますね。, そして、赤い点で示した線の接点を、正方形の一辺の長さが半径になるような円弧で結んでみましょう。, ひまわりには螺旋だけでなく、フィボナッチ数が深く関係しています。ひまわりは生存競争に勝つために自然に数学を使っていたのです。, 2018年2月24日2020年5月20日数学の面白いネタ数字に関する面白いこと, 生活と数学に関する面白いこと.
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, {\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}, と表される平面曲線を対数螺旋という。ここに、e はネイピア数、a, b は固定された実数である。r が原点からの距離を表すため、a は正でなければならないが、b は正、負のどちらでも構わない。正の場合は中心から離れる際に左曲がりである螺旋になり、負の場合は右曲がりの螺旋になる。裏返すことによって左曲がりを右曲がりにできるため、b > 0 に限った定義をすることもある。定義式において形式的に b = 0 とすると、半径 a の円となる。, θ α cos e WordPress Luxeritas Theme is provided by "Thought is free". r

2 , + フィボナッチ数から作られる螺旋は、この世の中でもっとも美しい螺旋と言われています。ここでは、まずフィボナッチ数と数列、そしてその性質について紹介します。さらに、螺旋の作り方と、実際に螺旋 … 0000062676 00000 n   y = aebθ sin θ e Cambridge Univ.,London, p.99, first published in 1961. θ {\displaystyle \mathbf {r} (\theta )=(ae^{b\theta }\cos \theta ,\,ae^{b\theta }\sin \theta )}, 対数螺旋は自己相似である。すなわち、任意の倍率で拡大または縮小したものは、適当な回転によって元の螺旋と一致する。例えば、e2πb 倍に拡大したものは、回転することなしに元の螺旋と一致する。対数螺旋は、拡大・縮小以外にも様々な変換に対する不変性を持つ。例えば、伸開線および縮閉線は自分自身に一致する[1]。, 中心から伸ばした半直線と螺旋は無限回交わるが、隣り合う交点について、原点との距離の比は一定で e2πb である。対して、距離の差が一定であるような螺旋がアルキメデスの螺旋である。, 中心から伸ばした半直線と対数螺旋が成す角は一定である。等角螺旋の名はこの性質に由来する。実際、その角 α は, α e

= {\displaystyle \alpha =\arccos {\frac {\langle \mathbf {r} (\theta ),\mathbf {r} '(\theta )\rangle }{\|\mathbf {r} (\theta )\|\|\mathbf {r} '(\theta )\|}}=\arccos {\frac {b}{\sqrt {b^{2}+1}}}=\operatorname {arccot} b}, と計算される。b が正のとき、α は0度から90度の間の角であり、α の余角 90°− α を対数螺旋のピッチ (pitch) という。b が負のときは、α は90度から180度の間の角であり、α − 90° がピッチである。ピッチが大きいほど、螺旋に沿って中心から遠ざかる際に、中心からの直線距離がより速く大きくなる。すなわち、開いた形状になる。ピッチが0度に近付いた極限は円で、ピッチが90度に近付いた極限は中心から伸びた半直線と見ることもできる。, 対数螺旋の形状は巻きの向きとピッチのみ、すなわち b のみによって決まるので、回転による違いを考慮しないならば、対数螺旋とは r = ebθ によって定まる曲線である、と定義してもよい。B = eb とおけば、さらに簡潔な式 r = Bθ で定義できる。, 螺旋上の一点から螺旋に沿って中心に向かうと、前述のように無限回渦巻き、中心に辿り着くことはできないが、その道のりは有限である。実際、例えば b が正のとき、中心からの直線距離が r である点 (r cos θ, r sin θ) (ただし、r = aebθ)から中心までの道のりは, ∫ 0000000016 00000 n : Mathematical Snapshots. , r %PDF-1.4 %���� a 対数螺旋の性質[2000 神戸大・理(後)] a > 0 を定数として、座標平面上で次の式 x ( t ) = eat cos t , y ( t ) = eat sin t (-∞ < t < ∞) で定まる曲線を Ca とする。次の問いに答えよ。
(1) 位置ベクトル ( x ( t ) , y ( t ) ) と速度ベクトル ( x ' ( t ) , y ' ( t ) ) のなす角 … ) b = sin

) {\displaystyle \chi (\theta )={\frac {1}{ae^{b\theta }{\sqrt {b^{2}+1}}}}={\frac {\sin \alpha }{r}}}, である。螺旋の見た目からも明らかなように、中心に近付くほど限りなく大きくなり、中心から遠ざかるほど限りなく 0 に近付く。b が正である場合は曲率関数は単調減少であり、b が負である場合は単調増加である。この性質は進行方向に依らない。, 指数関数は、複素数平面において、実軸にも虚軸にも平行でない直線を対数螺旋に写す。しかも、任意の対数螺旋はそのようにして得られる。実際、指数関数によって, x | 0000005814 00000 n =

sec 0000001207 00000 n sin 2 ⁡ 対数螺旋(たいすうらせん、英: logarithmic spiral)とは、自然界によく見られる螺旋の一種である。等角螺旋(とうかくらせん、英: equiangular spiral)、ベルヌーイの螺旋ともいい、「螺旋」の部分は螺線、渦巻線(うずまきせん)、匝線(そうせん)などとも書く。ヤコブ・ベルヌーイ(ジャック・ベルヌーイ)は、17世紀のスイスの数学者。, r ⁡ B b

r x Dover, p. 13,1990.

0000004106 00000 n θ e


%%EOF / / cos = arccot ⁡ | ) {\displaystyle |b|={\frac {\log \phi }{\pi /2}}\approx 0.30634896253}, なる定数 b に対して r = ebθ で与えられるものである。さらに、B = eb とおいて、r = Bθ でも定義される。正の b に対しては, B 他の記事も読みたいと思いました。, https://analytics-notty.tech/wp-content/uploads/2018/02/フィボナッチ数列から螺旋を作る④.jpg 2016年11月20日放送の「林先生も驚く!初耳学」という番組で、ベルヌーイ螺旋というものが紹介されていました。この記事では、ベルヌーイ螺旋について少し詳しく解説していきます。, 従来のハサミは、ダンボールのような厚手のものを切るときに、根本では切れるけど、先端では切れない、ということがあります。しかし、最新のハサミにはどこで切っても同じ切れ味の(先端でも厚手のものが切れる)ハサミがある。さて、なぜどこでも同じ切れ味なのか?, このような問題に対して、林先生が自らの知識で説明していくところが見られたり、あるいは説明できないちょっと格好悪い林先生を見られるところが、この番組の見どころですね。, さて、この問題の答えは次のとおりです。

y π Yates,Robert C. : A Handbook on Curves and their Properties. ) b b ⁡

=   x = aebθ cos θ = 0000001021 00000 n d の数字が一つずれていますね。, […] フィボナッチ数列なんて言うものは、まさにVORTEXそのものだと考えていますが、私たちのからだの中にもこうした概念が存在しているのです。 […], 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。. b