答え分かる方いませんか。健康のため自転車で通勤している太郎さんは、ある日、時速20kmで自宅から会社に向かっていると、自宅と会社のちょうど真ん中の地点で自転車がパンクしてしまった。そこで、残りの道のりを時速4kmで歩いたところ、会社に着いたのは自宅を出てから36分後だった。太郎さんの自宅と会社の距離は何km... 答え教えてください 花子さんは健康のため、毎日1枚食べているピザのサイズをLサイズからMサイズにすることにした。ピザの直径はLサイズが36cm、Mサイズが24cmである。花子さんが1日に食べるピザの量は、何%になるだろうか。もっとも近いものを次のうちから1つ選べ。ただし、ピザは完全な円で、厚みは変わらないもの... 今日(2020/11/01)行われた北辰テストについての質問です。関数の問題で、三角形 ABC(ABCというのはてきとーです)=Sのようにおいたのですが、S を使わずに説明してました。この場合、減点されるのでしょうか?(答えは4√2であっています), さっきアメリカが国家非常事態宣言を出したそうです。ネットで「これはやばい」というコメントを見たのですが、具体的に何がどうやばいんですか?. \begin{eqnarray} は何になるのか? というのがあったので、回答を作っていたのですが、回答しようと思ったときに質問が消えてしまっていたので、もったいないので記事にして残したという経緯です(-ω-;), まず、すべて通分すると分母はn!となり、分子は 1+n+n(n-1)+n(n-1)(n-2)+……+n(n-1)(n-2)……3・2・1=Σ[k=0→n]nPkと表すことができます。てきとうな数でやってみると明らかですね。nPkは順列です。すなわち、Σ[k=0→n]1/k!=1/n! \end{eqnarray} 数列が収束する条件があると便利です.極限値は分からなくても,数列がCauchy(コーシー)列であれば,収束することが分かります.今後も使う非常に有用な定理です.今回はCauchy列が収束することを分かりやすく証明します. &&\dfrac{\sin x}{x} \\ }\}$$・・・(2)として、この式が常に正ならば(1)が示せます。, x>0のとき\(g‘_{1}(x)>0\)なので(3)は単調増加。x=0で(3)は=0。, よって、n=1のとき\(g_{1}(x)= e^{x}-(1+x)\)はx>0で常に正。, $$ e^{x}>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2! [/math], となります。ここで[math]C_1[/math]は定数、[math]g(x)=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x}{\sin x}\right)[/math]です。, ここで[math]0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}[/math]では[math]x\leq \tan x[/math]より, [math] $\dfrac{\pi^2}{(2+\frac{1}{n})^2n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\tan^2\theta_k}\leq \displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{k^2}\\\leq \dfrac{\pi^2}{(2+\frac{1}{n})^2}\left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\tan^2\theta_k}\right)\:\cdots(※)$ 別に学歴なんて気にしてませんでしたし、そこそこ大きい企業に勤めて給料にも不満がありませんでしたし、私も働いていますし「専門技術だけで大きい企業に勤めるなんて凄... ゴートゥーイート 11月中に終了する可能性高いですか?キャンペーンに気付いてなくて最近予約し始めたので

数学. 「0の階乗」に関するq&a: 0の階乗は1? 「 N 」に関するQ&A: <こうした+N>の意味を教えてください。 「 ニャンコ先生 」に関するQ&A: ニャンコ先生と黒ニャンコとはどういう関係なのか つまりCauchy列とは,十分大きな項では,任意の項の差が十分小さくなるような数列のことです. }$$を示すことが目標です), $$g_{k+1}(x)=e^{x}-\{1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2! トップ > 数学 > 階乗の逆数総和の部分和. }+\cdots +\frac{x^{n}}{n! && E_n \\ [/math], となります。[math]I_k[/math]は[math]k[/math]が奇数の時に値を持つので, [math] g(x)&=&\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x}{\sin x}\right) \\

B &=& \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} \\ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)^2} = \dfrac{\pi^2}{8} \end{eqnarray}

高校数学/物理/化学と線形代数をメインに解説!いつ・どこでもわかりやすい、差が付く記事が読めます!社会人の方の学び直し(リカレント教育)にも最適です。, プロ講師(数学/物理/化学/英語/社会)兼個別指導塾YES主宰/当サイト「スマホで学ぶサイト、スマナビング!」を運営しています。/指導中、実際に生徒が苦手意識を持っている単元について解説記事を執筆。詳細は【運営元ページ】をご覧ください。, スマナビング!は、いつ・どこでも(独学でも)資格試験(電験三種、数検、統計検定・就活のためのSPI(非言語)etc,,,)対策や、テスト勉強対策が出来るサイトです。. [/math], [math] (Γ関数を用います)<x^{x}\), 上にあげた順序の中で、(特に高校の範囲では)\(x^{n}とe^{x}\)が重要、かつ、入試などでも問われやすいです。, $$ e^{x}>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2! &=& \sin (2n+1)x &=&\dfrac{1 – x / \tan x}{\sin x} \\ 階乗 の ... しかしこの公式は収束が遅く、実用的な意味でパイ函数やガンマ函数の値を計算することに利用することはできない。 | $z=(\cos\theta_k+i\sin\theta_k)^{2n+1}$ の虚部は $0$ である。 ②Cauchy列がある収束部分列の極限値に収束すること これにはBolzano–Weierstrassの定理を使います. 2\sin 4x\sin x &=& \sin 5x- \sin 3x \\ Copyright ©️ 2019 数学ノート All Rights Reserved. \end{cases} 2019-03-31.

開いた後は発送状況を確認できるサイトに移動することは無く、ポップアッ... 結婚したことを後悔しています。私と結婚した理由を旦那に聞いてみました。そしたら旦那が「顔がタイプだった。スタイルもドンピシャだった。あと性格も好み。」との事です。 これを変形して平方数の逆数を作り出す: 0 &(k=2,4,6,\dots) \\ [/math], と評価でき([math]C[/math]は定数)、[math]n\to\infty[/math]で[math]E_n\to 0[/math]が分かります。, [math] 例:次の数列は収束するか?$$a_n = 1+\displaystyle \frac{1}{2^2}+\cdots +\displaystyle \frac{1}{n^2}$$ 試行してみます. JavaScriptが無効です。ブラウザの設定でJavaScriptを有効にしてください。JavaScriptを有効にするには, 1/1!+1/2!+1/3!+… \begin{eqnarray} \begin{eqnarray} これは,1990年東工大後期第二問と本質的に同じ問題になります。(東工大の入試問題では誘導がついていました。), $\sin(2n+1)\theta_k=0$ より, 教えて頂きたいです 2\cdot\dfrac{1}{2}\sin x &=& \sin x \\

[/math], 論文中では「増加関数の同士の積は増加関数になる」としていますが負の値を取る場合には成立しないことがあります。, 統計、データマイニング、最適化など世の中の95%以上の人は関心を持たなさそうな話を書いてます, A One-Sentence and Truly Elementary Proof of the Basel Problem, ウィルコクソンの符号順位検定(Wilcoxon signed-rank test), [math]E_n=\int_0^{\pi/2}x/2dx+\sum_{k=1}^nI_k[/math]の算出, コサインの和[math]f_n(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n\cos(2kx)[/math]の計算. && – \sin (2n-1)x

$S_n=\dfrac{n(2n-1)}{3}$ 参考:【非公認】東京工業大学模試研究会. 一般に,ζ(p)=∞∑k=11kp をリーマンのゼータ関数といいます。 p=1 のときは発散します。→調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明 バーゼル問題は p=2のときのゼータ関数の値を求める問題です。 まず,この級数が発散せずに収束することは以下のように簡単に証明できます。非常に有名なテクニック:→部分分数分解など差に分解する4つの恒等式を用いて級数を上からおさえます。 [/math], を導きました。小学生でも知っている「平方数」の逆数を足しあげると突如、円周率が登場するという驚きの結果です。, オイラーによる解決後もよりシンプルな証明が発表されており「高校数学の美しい物語」さんが「バーゼル問題の初等的な証明」で紹介しているように大学入試問題のテーマになることもあります。ただ「思ったより長く険しい証明になってしまいました。」とコメントされている通り高校生にとっては難度の高い証明だと思います。, ここでは2015年に発表された論文”A One-Sentence and Truly Elementary Proof of the Basel Problem“の内容をベースとした解法を紹介します。なお、論文では, キーアイディアは[math]k \in \mathbb{N}[/math]に対して, [math] 高等学校教諭専修免許状(数学),数学検定1級,統計検定準1級, ディープラーニング G検定 取得.

9. e^x > Σ[k=0→n](x^k/k !) =2-\dfrac{1}{n}$ [/math], [math] &\leq& \int_0^{\pi/2}g(x) dx \\ }\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+\frac{x^{k+1}}{(k+1)! }$$, ($$ e^{x}>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2! k \geq k_0 \Rightarrow |a_{n(k)}-\alpha|<\displaystyle \frac{\epsilon}{2}.・・・(☆)$$, 今,Cauchy列の条件より,$$\forall \displaystyle \frac{\epsilon}{2}>0,\exists N s.t. &=& \int_0^{\pi/2}xf_n(x)dx \\ 階乗の逆数総和の部分和 . \end{eqnarray} &\vdots& \\ にゃんこ先生といいます。 Σ[n=0,∞]1/n!=e ですが、 Σ[n=0,∞]1/n!! 一児の父. そこで,この $n$ 次多項式を の証明です。 数学. そんなに早く終了すると悲しいです( ; ; ). [/math], となります。これより[math]f_n(x)=\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n\cos(2kx)[/math]は, [math] よって,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^2}=\dfrac{2}{3}$ が示された。, なお,フーリエ展開を用いた別証もきれいです!→フーリエ級数展開の公式と意味の記事末, ほとんど同じようにして,「逆数の4乗和」「逆数の6乗和」も計算することができます!

変な質問でごめんなさい。2年前に結婚した夫婦です。それまで旦那は「専門学校卒だよー」って言ってました。 や Σ[n=0,∞]1/n!!! よって,あとは $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\tan^2\theta_k}=\dfrac{2}{3}$ を証明すれば,上記の不等式の極限を取ってハサミ打ちの原理を使うことにより収束先が $\dfrac{\pi^2}{2^2}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{\pi^2}{6}$ であることが分かる。, $(※)$ 補足:最右辺第一項は $1$ を $n$ 個足しあわせているので,$\dfrac{1}{n^2}\displaystyle\sum_{k=1}^n1=\dfrac{n}{n^2}=\dfrac{1}{n}$ となっている。, 目標は $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{S_n}{n^2}=\dfrac{2}{3}$ です。ただし,$S_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac{1}{\tan^2\theta_k}$ この $z’$の虚部は $\dfrac{1}{\tan^2\theta_k}$ の $n$ 次多項式とみなせる! \begin{eqnarray} 7. eのマイナス無限大乗. n \geq N \Rightarrow |a_n-\alpha|<\displaystyle \frac{\epsilon}{2}.$$∴$$m,n \geq N \Rightarrow |a_m-a_n|=|(a_m-\alpha)-(a_n-\alpha)|$$$$\leq |a_m-\alpha|+|a_n-\alpha|(∵三角不等式)$$$$<\displaystyle \frac{\epsilon}{2}+\displaystyle \frac{\epsilon}{2}=\epsilon.$$, \(\epsilon = 1\)として,$$\exists N s.t. 2\sin 2nx\sin x &=& \sin (2n+1)x\\ ちょっと、とある公式を導くために二項係数を含む級数をあれこれ考えてたんですが、どうも導き方がよく分からなかったので、階乗や二項係数を含む級数の公式を片っ端から導いてみます。 公式は『級数・フーリエ解析 (岩波 数学公式 2)』に載ってるもの。 旦那が東大卒なのを隠してました。

&=& \dfrac{\pi^2}{16}+\sum_{k=1}^n I_k 専攻は整数論. にゃんこ先生の自作問題、二重階乗の逆数和Σ[n=0,∞]1/n!! [/math], [math] $\dfrac{\pi^2}{(2n+1)^2}\cdot\dfrac{1}{\tan^2\theta_k}\leq \dfrac{1}{k^2}\leq \dfrac{\pi^2}{(2n+1)^2}\left(1+\dfrac{1}{\tan^2\theta_k}\right)$ }+\cdots +\frac{x^{k}}{k! \end{eqnarray} &\geq& 0 使う道具は以下の3つです:, 1:$0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}$ において $\sin x \leq x \leq \tan x$(有名不等式) 1/1!+1/2!+1/3!+… 階乗の逆数の和の値の極限はどうなるのですか? 公比1/2の無限等比級数が収束することを踏まえると、これも収束するんでしょうけど、求め方がわかりません。 これを $k=1$ から $n$ まで足し合わせる: I_k = \displaystyle \int_0^{\pi/2} x\cos(2kx) dx [/math], になることが分かりました。「平方数の逆数の和」を「偶数の平方数の逆数の和」と「奇数の平方数の逆数の和」に分けて書くと, [math]

バーゼル問題:平方数の逆数和は $\dfrac{\pi^2}{6}$ に収束する。つまり, &=& \int_0^{\pi/2}\dfrac{x}{2}dx+\sum_{k=1}^n I_k \\ 第5問(数学・難易度4 【D】6色. 数学 数学-大学数学.

&=&\left[\dfrac{x}{\sin x}\right]_{0}^{\pi/2} \\

【至急】超良問ドリルの問題です!

}\}$$, と非常にきれいに“足し合わせている部分”の分母分子が打ち消し合って、\(g’_{k+1}(x)=g_{k}(x)\)となっています。, (4)の仮定より、\(g’_{k+1}(x)>0、かつ、g_{k+1}(0)=0\)だから、x>0において\(g_{k+1}(x)\)は常に正。, 従って、n=k+1のときも仮定が成り立つので数学的帰納法より、$$ e^{x}>1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2! $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$, 平方数の逆数和はいくつに収束するのか?という問題がバーゼル問題です。高校数学で理解できるバーゼル問題の証明を解説します。, 一般に,$\zeta(p)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^p}$ をリーマンのゼータ関数といいます。 $p=1$ のときは発散します。→調和級数1+1/2+1/3…が発散することの証明 [/math], と「奇数の平方数の逆数」と「三角関数」を結びつけることができます。ここから三角関数の性質を巧妙に使い「奇数の平方数の逆数の和」を求め、そこから「平方数の逆数の和」を求めます。, まず[math]I_k[/math]を求めます。部分積分をして[math]\cos(k\pi)=(-1)^k[/math]と書けることに注意して, [math]

この収束値を求める問題がかの有名な「バーゼル問題」と呼ばれ,苦心の末,1735年にレオンハルト・オイラーによって解かれました. < 1+\dfrac{1}{1\cdot 2}+\dfrac{1}{2\cdot 3}+\cdots +\dfrac{1}{(n-1)n}\\ <この記事の内容>:数三の微積分や極限で必ず必要になる「関数の発散の順序」を、感覚的にではなく実際に証明問題を解きながら整理していきます。, <関係するまとめ記事>:「極限を得意にする8記事+α」・「数学Ⅲ:微積分とその応用まとめ」, \(\log{x}<x^{n}<e^{x}<x! \begin{eqnarray} この定理の素晴らしいところは,収束値が分からなくても,また複雑な数列でも,Cauchy列であることさえ示すことができれば,収束することの必要十分条件になることです.

や Σ[n=0,∞]1/(2n!!) 結果として,収束値は,$$1+\displaystyle \frac{1}{2^2}+\cdots +\displaystyle \frac{1}{n^2} \cdots = \displaystyle \frac{\pi^2}{6}$$です. 過去ブログの転載です。 Σ[k=0→∞]1/k!=e というのは有名な事実ですが、これはマクローリン展開の式を用いれば簡単に示すことができます。 知恵袋の質問に、では Σ[k=0→n]1/k }{x}$$, よって、ハサミウチより$$\lim_{x→\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}=0$$, ここまでの問題で示した\(\lim_{x→\infty}\frac{x^{n}}{e^{x}}=0\)をもとにその他の関数と\(x^{n}\)の発散速度の比較を行います。, 問2で示したように、\( e^{x}がx^{n}\)よりもはるかに発散速度が早いです。またn=1を代入して\(e^{x}<x\)。, \(\log{x}とx(n=1)\)のどちらかを分母・もう片方を分子にして極限をとる事で示します。, $$\lim_{u→\infty}\frac{u}{e^{u}}$$と置き換えることができ、これは問2で示した形で0に収束します。, 階乗が自然数n!の時ならば、二項定理を用いて証明できるのですがx!(xが飛び飛びの値ではなく連続している場合)は高校範囲を超えます。, 詳しくはガンマ関数と呼ばれる(「ベータ関数と積分漸化式」でのβ関数と深い関係があります。)関数を導入しなければいけません。, 【受験・学習メディア】:スマナビング!では,読者の皆様からのご感想を募集しています。ぜひコメント欄にお寄せください。, ・その他の「お問い合わせ・ご依頼/タイアップ」等につきましては、【運営元ページ】からご連絡下さい。. }$$・・・(1)より、, $$ e^{x}>1+\frac{x}{1! &=& \dfrac{(-1)^k-1}{4k^2}

鳥が光っているような物を見ました。その日はたまたま仕事が早く終わり、のんびり娘と路肩に座っておやつを食べていました。 }+\cdots \\ また,$\sin\theta_k\neq 0$ なので,$z$ を $\sin^{2n+1}\theta_k$ で割ることにより, 10. 3:解と係数の関係, 1については sinx/xについて覚えておくべき2つのこと, クリックで応援よろしくお願いします. ブログを報告する. &=& \dfrac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2} + \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(2n-1)^2} \\ 定数aのn乗根の極限(n→∞)について. Σ[k=0→∞]1/k!=eというのは有名な事実ですが、これはマクローリン展開の式を用いれば簡単に示すことができます。, 知恵袋の質問に、では Σ[k=0→n]1/k! 数列が収束する条件があると便利です.極限値は分からなくても,数列がCauchy(コーシー)列であれば,収束することが分かります.今後も使う非常に有用な定理です.今回はCauchy列が収束することを分かりやすく証明します. Q にゃんこ先生の自作問題、二重階乗の逆数和Σ[n=0,∞]1/n!! 2については ド・モアブルの定理の意味と証明 $\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k^2}=1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\cdots=\dfrac{\pi^2}{6}$. 先日、息子が彼女にプロポーズして、相手両親に挨拶に行きました。彼女は一人娘で、彼女の父親から、氏名だけでも彼女の姓を名乗ってもらえないかと言われたと息子より相談の連絡がありました。まだしっかりと話はしていないので、息子の考えや彼女の考えもわかりませんが、いずれこのような相談があるだろうと私自身前... 光る鳥、もしくは鳥が光って見える現象ってありますか?先週の金曜日に(11月11日、天気は晴れ)、子供を保育園に迎えに行った帰り夕方6時ごろなのですが、 &=& \left(1-\dfrac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{4\pi^2}\right)\left(1-\dfrac{x^2}{9\pi^2}\right)\cdots 【C】5色 E_n&=&\int_0^{\pi/2}xf_n(x)dx \\ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^2}=\dfrac{\pi^2}{6} 2015の階乗を10の502乗で割った数の一の位は? 定理解説 日曜数学. }+\cdots +\frac{x^{n}}{n! \begin{eqnarray} 【B】4色 数学 . }+\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+\frac{x^{k+1}}{(k+1)! $\zeta(4)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^4}=\dfrac{\pi^4}{90}$ 各辺の逆数をとって二乗すると, © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. &&\left(C_1 + \int_0^{\pi/2}g(x)\cos(2n+1)x dx\right) 階乗の逆数和. (∵(☆),(☆☆)より)$$, $$∴ \displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha.$$.

[/math], [math] f_n(x)=\dfrac{\sin (2n+1)x}{2\sin x} }+\cdots +\frac{x^{k}}{k! 1/1!+1/2!+1/3!+… 階乗の逆数の和の値の極限はどうなるのですか? 公比1/2の無限等比級数が収束することを踏まえると、これも収束するんでしょうけど、求め方がわかりません。

8. tanxのマクローリン展開について. }\cdots +\frac{x^{n}}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}>\frac{x^{n+1}}{(n+1)! I_k &=& \int_0^{\pi/2} x\cos(2kx) dx \\ 2011年に数学科修士を修了.

|E_n| \leq \dfrac{C}{2(2n+1)} 偏微分の記号∂の読み方について教えてください。 数学. &=& \dfrac{1}{2}\int_0^{\pi/2} \dfrac{x}{\sin x}\cdot \sin(2n+1)x dx \\ && 2\sin x\left(\dfrac{1}{2} + \sum_{k=1}^n\cos(2kx)\right)\\ 2\sin 2x\sin x &=& \sin 3x- \sin x \\ &=&\dfrac{\sin x – x\cos x}{\sin^2 x} \\ 階乗の逆数の和の値の極限はどうなるのですか? \displaystyle E_{2n-1} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi^2}{8} – \sum_{k=1}^n\dfrac{1}{(2k-1)^2}\right) \begin{eqnarray} 旦那は私の顔を上の中と言います。だったら上の上がいたら私は捨て... ママ友との会話で旦那が工場勤務とか土方は嫌だよね〜って話題になりました。そのママ友には言っていないのですが旦那が土方仕事をしています。

$\zeta(6)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^6}=\dfrac{\pi^6}{945}$ }+\cdots +\frac{x^{n}}{n! ーーーーーーーーーーー花子さんは健康のため、階段を昇ることにした。花子さんは1度に1段昇ることと、2段昇ることができる。すると、たとえば階段が3段の階段の場合、1段→1段→1段、1段→2段、2段→1段の3通りの昇り方があること... 日本地図を、隣接する都道府県は異なる色となるように塗り分けたい。色は最小でいくつ必要だろうか?【A】3色 [/math], とおき[math]E_n=\int_0^{\pi/2}xf_n(x)dx[/math]を計算します。, [math] 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。. \(a_1 = 1\), \(a_2 = 1+\displaystyle \frac{1}{2^2}=1.25\), \(a_3 = 1+\displaystyle \frac{1}{2^2}+\displaystyle \frac{1}{3^2}=1.361111111\cdots \), \(a_5 = 1+\displaystyle \frac{1}{2^2}+ \cdots +\displaystyle \frac{1}{5^2}=1.4636111111\cdots \), \(a_{10} = 1+\displaystyle \frac{1}{2^2}+ \cdots +\displaystyle \frac{1}{10^2}=1.54976773116654\cdots \), \(a_{100} = 1+\displaystyle \frac{1}{2^2}+ \cdots +\displaystyle \frac{1}{100^2}=1.63498390018489\cdots \), \(a_{1000} = 1+\displaystyle \frac{1}{2^2}+ \cdots +\displaystyle \frac{1}{1000^2}=1.64393456668156\cdots \), $$0\leq a_m-a_n = \displaystyle \frac{1}{(n+1)^2}+\displaystyle \frac{1}{(n+2)^2}+\cdots +\displaystyle \frac{1}{m^2}$$$$\leq \displaystyle \frac{1}{n(n+1)}+\displaystyle \frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots +\displaystyle \frac{1}{(m-1)m}$$部分分数分解を行って,$$= \left ( \displaystyle \frac{1}{n} – \displaystyle \frac{1}{n+1} \right )+\left ( \displaystyle \frac{1}{n+1} – \displaystyle \frac{1}{n+2} \right ) \cdots +\left ( \displaystyle \frac{1}{m-1} – \displaystyle \frac{1}{m} \right )$$$$=\displaystyle \frac{1}{n}-\displaystyle \frac{1}{m}$$$$< \displaystyle \frac{1}{n}<\epsilon$$ (∵アルキメデスの原理より).